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0431-81702023
光學工程
離散傅里葉方法分析環縫透鏡產生無衍射光束

摘要 使用離散傅里葉方法分析環縫透鏡系統產生無衍射(貝塞爾)光束。將基爾霍夫衍射積分公式與菲涅耳衍射積分公式轉換成傅里葉變換的形式,在環縫透鏡系統中用傅里葉方法描述觀察面的光強分布,對衍射面進行數據抽樣,導出觀察面光強分布的離散化傅里葉公式;通過設置相關參數并使用 MATLAB 軟件進行數值模擬,得到不同位置下的貝塞爾光強分布。設計環縫透鏡系統進行實驗驗證,數值模擬和實驗結果匹配度較高,表明離散傅里葉方法應用于環縫透鏡系統是可行的。

關鍵詞 傅里葉光學; 無衍射光束; 離散傅里葉變換; 環縫透鏡系統

1 引 言

       貝塞爾光束[1] 被提出后,因其在傳輸領域中表現出的獨特性質,如中心光斑極小、光強極大、在一定范圍內不發散、遇到障礙物會自重建[2-3] 等,使得貝塞爾光束一直受到廣大學者們的極大關注,并在眾多領域內得到應用,如光學成像[4] 、光學拉力[5] 、光學扳手[6] 、粒子囚禁[7] 、生物細胞成像[8] 等,是光學領域研究的熱點。

       國內外學者對貝塞爾光束的研究主要基于基爾霍夫公式、菲涅耳公式、柯林斯公式等標量衍射理論公式[9-10] ,這些公式在標量近似的情況下可以較好地描述衍射現象,但在復雜系統下相應的衍射公式會因為過多的積分變得龐大而繁復,模擬與計算顯得非常困難。此時傅里葉分析方法便體現出了優勢,將空間衍射視為頻譜通過線性不變系統,只需要進行相應的傅里葉變換就能得到光強分布,在滿足抽樣定理[11] 的條件下,傅里葉方法可以對衍射問題進行快速求解。經典的菲涅耳衍射系統已經有相關人員進行研究并在現代光學計算中獲得了應用[12] 。而在特殊光束領域(如無衍射貝塞爾光的分析),使用傅里葉方法描述尚無報道。本文以環縫透鏡系統為例,使用傅里葉方法分析平行光入射環縫透鏡系統后的振幅分布公式,對衍射面進行數據抽樣并使用 MATLAB 軟件進行數值模擬,得到了不同位置下的貝塞爾光強分布。同時設計實驗對數值模擬進行驗證,結果相互吻合。

2 理論分析

       環縫透鏡系統的光路如圖 1 所示,假設衍射元件的振幅透射率為 t1(x0 , y0 ) ,平行光經過衍射面的復振幅 U1(x0 , y0 ) = t1(x0 , y0 ) ,由基爾霍夫衍射公式的角譜理論[13-14] 可知,在與衍射元件距離為 d 的透鏡入射面上,光束的復振幅 U2 (x1, y1) 在頻域內表示為:

 

其中,A1(u,v) 、A2 (u,v) 分別是復振幅 U1(x0 , y0 ) 、U2 (x1, y1) 的角譜,T1(u,v) 為 t1(x0 , y0 ) 的傅里葉變換,i 為虛數,λ 為波長,k 為波矢,H(u,v) 是系統傳遞函數,用 FT() 表示傅里葉變換,IFT() 表示逆傅里葉變換,則透鏡入射面上的復振幅分布為:

 

       使用計算機進行光強分布的數值模擬必須對(4)式進行離散化[15-16] ,為此首先進行變量代換,由(4)式可知 x、y 與 u、v 的關系為:

{x = u?λ?z y = v?λ?z , (5)

       對衍射元件進行抽樣,假設衍射屏在 x、y 方向的抽樣數據為 M×N,抽樣間隔分別為 Δx 、Δy ,由抽樣定理知,在頻域 u、v 方向上的抽樣間隔 Δu 、Δv 具有關系:

 

 

式中,m 為 0,1,2,3...,M - 1 ;n 為 0,1,2,3...,N - 1 ;DFT() 表示離散傅里葉變換,IDFT() 表示離散逆傅里葉變換。

3 數值模擬

      為了完成計算機對環縫透鏡系統出射光束強度分布的數值模擬,需要對衍射面進行抽樣,由 WhittakerShannon 抽樣[11] 定理知,沿 x 方向抽樣間隔 Δx 需滿足:Δx ≤ 1 2Bx ,2Bx 為帶限函數在頻率平面上不為 0 區域的大小,當 Δx 滿足以上條件時,函數可以得到完美的恢復。假設對簡單周期性函數的一個周期內進行最少次數的抽樣,抽樣間隔為 Δx1 ,則其頻域內頻譜的重復周期為 1 Δx1 ,即此函數在頻域內的分布范圍為 1 Δx1 ,因此,函數在最少抽樣量時的抽樣間隔越小,頻域內頻譜分布范圍越大。

      一個復雜的抽樣面,可視為許多簡單周期性函數的線性疊加,其頻譜分布可視為相應函數頻譜的疊加,那么頻域內的頻譜分布范圍由抽樣面簡單函數的最小周期決定,即頻譜分布范圍由抽樣面上最小尺寸決定。對于正弦函數,在保證完美復原的前提下進行抽樣,最少要抽樣 2 次,假設抽樣面內最小尺寸為 xmin ,則有 2Bx = 2 xmin ,代入 Δx ≤ 1 2Bx ,得 Δx ≤ xmin 2 ,又知 Δx = X M ,X 為抽樣面 x 方向取值范圍,M 為 x 方向取樣次數,經過整理,得到抽樣面 x 方向的最低取樣次數為:

 M ≥ 2?X xmin . (8)

      y 方 向 的 取 樣 條 件 與 (8)式 形 式 相 同 ,抽 樣 面 使 用 直 徑 為 4.0 mm,縫 寬 0.1 mm 的 環 縫 ,衍 射 面 范 圍 20 mm × 20 mm (如圖 2 所示),依據判定條件(8)式,抽樣次數要滿足 M ≥ 400, N ≥ 400 ;取 M = N = 1024 ,則沿 x、y 方向的抽樣間隔均為 0.0195 mm,令波長 λ = 6.328 × 10-4 mm ,焦距 f = 190 mm ,d = 50 mm ,根據離散化公式(7)式所示,用 MATLAB 軟件對不同軸向距離 z的光強分布進行模擬,結果如圖 3 所示。

 

 

       圖3(a)為觀察屏在 z=150 mm 處光強分布,從左到右依次為三維空間分布、光強的平面分布與截面分布。可以明顯看出,在該面上中心光強值約為 3.2 × 108 ,遠高于周圍條紋的強度值,中心亮斑的半徑小于 30 μm ,表現為觀察屏上亮度值極高的極小光斑,而且光束的強度值分布與貝塞爾函數的分布形式類似,是典型的近似無衍射光束。當觀察距離從 150 mm 增大到 170 mm 和 190 mm 時,由(b)、(c)可以明顯看出,光束的強度分布基本不變僅是最大光強值有所起伏,光束中心亮斑半徑基本不變;當觀察距離增大到 210 mm 時,光斑半徑開始增大但仍小于 0.05 mm,中心光強雖減小到 1.1 × 108 ,但遠大于周圍條紋的強度值,光強分布依舊符合貝塞爾函數的分布形式;在整個傳播過程中,貝塞爾光束表現出了一種光強分布不隨著觀察距離的增大而改變的“無衍射”特性。模擬結果證明了環縫透鏡系統能夠產生貝塞爾光束圖樣,基于離散傅里葉分析方法的數值模擬能夠很好地展示貝塞爾光束的“無衍射”特性,模擬結果與理論預期相符。

4 實驗驗證

      為 了 驗 證 模 擬 結 果 ,設 計 實 驗 光 路 如 圖 4 所 示 。 實 驗 所 用 參 數 與 模 擬 參 數 一 致 :激 光 波 長 為 0.6328 μm ,透鏡焦距分別為 f1 = 15 mm, f2 = 150 mm, f3 = 190 mm ,環縫直徑為 4.0 mm,縫寬 0.1 mm,環縫與 f3 的距離為 50 mm。

      平行光經過環縫透鏡系統后產生在一定距離內“不發散”的近似無衍射光,使用體式顯微鏡進行觀察并用 CCD 進行拍攝,實驗結果如圖 5 所示。從圖 5 可以看出,在所有距離的觀察面上,實驗結果與模擬結果相似,兩者均呈現一個個圓環狀光圈分布,中心為亮點并且每個光環的光強分布由內到外依次遞減。由于實驗圖片進行了一定程度的放大,中心光斑比模擬結果看起來更大,但經過測量,實驗結果的光斑半徑小于30 μm ,與模擬結果相近。實驗中采取使用 CCD 拍攝圖片的形式記錄,截面光強分布是從圖片中提取出來的,為了拍攝到周圍的條紋,光衰調得較低,這導致中心光強極高,遠遠超出圖片所能記錄的范圍,因此,圖 5 截面光強分布中,中心光強雖然較高,但遠沒有達到模擬結果的高度。實驗結果中,傳播距離在 150、170、 190 mm 處的圖片比模擬結果擁有更多數量的光環,這是因為在模擬結果中外層光環相對中心的光強值較小,不易分辨,而在實驗中為了便于觀察,調小了光衰,使得周圍光環清晰可見。從圖 5 不同距離下的實驗結果中可以看出,隨著觀察距離的不斷增加,光束圖樣分布、光強強度分布特性、中心光斑尺寸基本沒有發生變化,中心光斑始終保持著較高的強度與較小的半徑,光斑大小基本不變且圖樣中央一直保持著較高的亮度,在整體上表現出了光束能量的集中與光束圖樣不隨距離變化的“無衍射”特性。受到 CCD 觀測精度與實驗記錄方法的限制,實驗結果與模擬結果還是存在差異,但是除了用圖片記錄導致的中心光強值不準,實驗結果與模擬結果在光束圖樣分布、光強強度分布特征、中心光斑尺寸等方面還是表現出了較好的吻合效果。

5 結 論

       依據角譜理論使用離散傅里葉方法分析環縫透鏡系統產生貝塞爾光束,對衍射元件進行抽樣并用 MATLAB 進行數值模擬,得到了不同距離下觀察面光強分布的模擬圖,設計實驗進行驗證,模擬結果與實驗結果相吻合。模擬結果與實驗結果很好地解釋了貝塞爾光束的“無衍射”特性,證明了使用離散傅里葉方法能夠很好地描述特殊光束系統,這為特殊光束的研究增加了一種計算簡便、精確、可靠的分析方法。

 


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